肘が痛い症状に対して自分でできる、即効性のある対処法はありますか？

御自身で出来る即効性のある対処法は、肘の痛みの原因によって異なります。

スポーツや重量物を扱う作業の後など、ケガをした直後から痛みがある場合にはRICE法とよばれる応急処置を行いましょう。これは、安静（Rest）にできるところへ移動して、氷や保冷剤（Icing）で患部を冷やしながら軽く圧迫（Compression）して応急処置を行います。
スカーフや三角巾があれば、少し高い位置まで肘を持ち上げる（Elevation）ようにしましょう。

鎮痛剤の飲み薬で痛みが和らぐ場合もあります。適正使用量であれば、市販のもので構いません。ただし、少しでも動かすだけで痛みが強い場合には骨折や靭帯損傷の可能性があるため、病院で正確な診断を受けるまでは肘を動かさないよう気をつけましょう。

肘の痛みとともに首の痛みや腕のしびれもある場合には、首が原因の神経の痛みである場合があります。
この場合、消炎鎮痛剤の内服がある程度効果がある場合があります。こちらも適正な使用量であれば、市販の痛み止めで構いません。